笔试面试题 —— 天平称重与二进制

有人曾问 帐前卒 一道题：至少需要多少个砝码，才能称出1~50g物体？

这道题有两个变种：

1.至少需要多少砝码(左物右码)，才能称出1~50g物体？

2.至少需要多少砝码(砝码可以放在任意一边)，才能称出1~50g物体？

第一问可以变为: 至少多少个数字相加，可以表示1~50之间的任意数。又可以演变为：如何快速的从一堆苹果中取出你想要的个数？

第一问对于每个数字其实就是两种状态，加、不加。也就是1,0. 对应的公式就是,对于任意数x

x = 1*a0 + 2*a1 + 4*a2...+2^k*ak   (a0...ak 可取0或者1)

也就是计算机界常见的2进制表示法。当全部ai都取1时，那么1+2+4…+2^k = 2^(k+1) - 1 >= x, 将x=50带入，k+1即为所求。

所以第一问的答案就是 log(50+1)  取上整

帐前 卒 这样解决了第一问，那么第二问应该就是第一问的变种。

因为砝码可以放左边、右边、不放。那么就有三种状态(-1,1,0). 这就是如何用三种状态来标示一个数。那么

x = 1*a0 + 3*a1 + 9*a2 + ... + 3^k*ak 其中ai可以取-1,0,1

当全部ai都取1时，那么1+3+9…+3^k = (3^(k+1) - 1)/2 >=x, 把x=50带入，那么k+1即为所求

所以第二问的答案是 log3(x*2+1) 取上整 为 5

帐 前 卒 又想起快速幂级运算

a^k 如果一次乘个a,那么需要乘k次。如果使用二分法 那么 只需要乘log(k)取上整次就可以做完。

a^0

a^1

a^2

a^3

a^4

a^5

1

a^1

a^2

a1*a^2

1*a^4

a^1 * a^4

这样表示就会发现其实a^k 其实就是把k表示为2进制的形式。

5 就是 101   就是 a^1 * a^4

下面写就比较好写程序了。

total=1; // total就是所求，k就是幂，a就是底数
while(k) {
     if (k&1) total*=a;
     a*=a;
     k>>=1;
}